john7rv

ある集合aとある集合bが同じである
と言うには外延性公理を必要とします

∀a(x∈a ⇔ x∈b) ⇔ a=b

これは

集合aとbのそれぞれの要素が同じであれば
aとbは同値である

という公理です

x∈a ∧ F(x) ⇔ x∈b

F(x)の性質を持つxを要素として持つ集合aがあれば
必ずxを要素に持つ集合bも存在する
そして外延性定理によりそのbはaと同値である
つまりbはaと書けます

∃b∀x(x∈b ⇔ F(x))

F(x)があるならその性質を持つ要素xを集めた一意の集合bがありそれはつまり

ある性質F(x)があればその性質を持つ集合は必ず存在する

ということになります
例えばたくさんの対象がある場所である性質を考えれば
その性質を持ったものを集めて一つの集合を作れます
それを内包性公理は表しています

∀a,b∃c∀d(d∈c ⇔ (d=a ∨ d=b))

集合aと集合bがあればその２つの集合からなら新しい集合cが存在します
当たり前のことのように思えますが
この公理は空集合にも適用されます
この公理があるので
空集合と空集合から空集合が作れます

∀a∃b∀c(c∈b ⇔ ∃d(c∈d ∧ d∈a))

任意の集合aに対して集合bもあり
集合bに属するcがあるとき
aの中の元であるdという集合の中にcが含まれる
という公理
かなり遠回しな表現になってますが
和集合を可能にさせる公理です

内包性公理と置換公理は図式（スキーマ）です
図式とは論理式内に任意の論理式を表す変数が存在するもので
その変数に別の論理式を当てはめて公理とします
つまり論理式ごとに公理があることになります
ということは無限の公理があることになります
ZFとZFCには図式があるので有限公理化は不可能です



空集合の公理は、”少なくとも一つの集合が存在する”ことを前提とすれば、内包性の公理図式に、論理式"A≠A"を当てはめて、導けます