john7rv

集合とはある性質を持つものの集まりです
それは関数の機能とも共通します

x∈y ⇔ F(x)

論理学とも共通しています

x ∈ A

はxはAという集合に含まれてることを示しています
xを元または要素と言います

A ⊆ B

集合Aの元が全て集合Bにも含まれているとき
AはBの部分集合である

∀x(x∈A ⇒ x∈B)

またそれは論理学的には

A ⇒ B

AならばBになります

A⊆B

はAがBに含まれる場合だけでなくA=Bの場合も含まれます
A=Bが含まれない場合は

A⊂B

を使います

(A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇒ (A ⇔ B)

AがBの部分集合であり、かつ同時にBがAの部分集合でもあれば
AとBは同値になります。
これは証明において２つが同値であることを証明するのに利用できます

A ∪ B

所属する元がAかBかまたはAとBの両方に含まれるとき
和集合と言います。
論理学では

A ∨ B

「または」になります

A∩B

所属するすべての元が
Aの性質にも属しBの性質にも属する場合
積集合となります
共通部分です
論理学では

A∧B

AかつBとなります

x ¬∈ A
集合Aに含まれない元で作られた集合が補集合です
論理学的には
¬
になります

Aの補集合をAcと表すとすると

A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac

という関係になります

{x|x ≠ x}

x≠xはありえないことであり存在するわけがないので
空であるということになります

φ

の記号で表します
しかし空でも
集合としては存在しているので
すべての集合は部分集合として必ず空集合を持ちます

∀a(φ⊆a)

集合AとBに共通する元が一つもない状態であれば

A∩B = φ

AとBは互いに疎であると言います