john7rv

二面体群は平面の図形をひっくり返した場合も含めて回転した組み合わせを表す群です

平面図形の中心から垂直な軸を中心に３回回転して元に戻る操作rと
図形と水平な軸を裏表に回転する操作sの組み合わせになります
sは２回回転すると元に戻ります
この操作を並べると

e,r,r2,s,rs,r2s

となります
eは恒等元であり
r3とs2はeとなります
これをD3と呼び
D3は6個の元を持ちます
なのでD3の群の位数は6です
各元の位数は
　rの位数は3
　r2の位数は3
　sの位数は2
　rsの位数は2
　r2sの位数は2
　eの位数は1
となります

     e   r  r2   s  rs  r2s
e  | e | r |r2 | s |rs |r2s|
r  | r |r2 | e |rs |r2s| s |
r2 |r2 | e | r |r2s| s |rs |
s  | s |r2s|rs | e |r2 | r |
rs |rs | s |r2s| r | e |r2 |
r2s|r2s|rs | s |r2 | r | e |

eはどの行にもどの列にも一つあります

正方形の二面体群はD4と呼ばれます
正方形なので垂直軸の回転rは４回目で元に戻ります

     e   r  r2  r3   s  rs  r2s r3s
 e | e | r |r2 |r3 | s |rs |r2s|r3s| 
 r | r |r2 |r3 | e |r3s| s |rs |r2s| 
r2 |r2 |r3 | e | r |r2s|r3s| s |rs | 
r3 |r3 | e | r |r2 |rs |r2s|r3s| s | 
 s | s |rs |r2s|r3s| e | r |r2 |r3 | 
rs |rs |r2s|r3s| s |r3 | e | r |r2 | 
r2s|r2s|r3s| s |rs |r2 |r3 | e | r | 
r3s|r3s| s |rs |r2s| r |r2 |r3 | e |